trigonometri

Bab  I

Pendahuluan

A. Latar Belakang

Seseorang yang ingin mengukur tinggi sebuah pohon, menara, gedung bertingkat ataupun sesuatu yang memiliki ketinggian tertentu maka tidaklah mungkin secara fisik akan mengukur dari bawah ke atas (puncak) obyeknya dengan menggunakan meteran. Salah satu cabang matematika yang dapat dipakai dalam membantu pengukuran ini adalah trigonometri.

Gambar 1.1 adalah gambar seorang pengamat yang ingin mengukur tinggi tiang bendera dengan menggunakan klinometer (Gb. 1.2)

Dalam pengamatan akan didapat sudut dan jarak pengamat dengan tiang, kemudian dengan bantuan pengetahuan trigonometri maka akan dapat dihitung tinggi tiang tersebut.

Kenyataan dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang kehidupan banyak membutuhkan pengetahuan tentang trigonometri, antara lain bidang keteknikan, bidang IPA, bidang penerbangan, bidang pelayaran dan sebagainya. Oleh karena itu topik tentang trigonometri perlu diajarkan kepada siswa oleh guru matematika.

B. Tujuan

Bahan ajar tentang pembelajaran trigonometri ini disusun agar para tenaga kependidikan/guru:

1.    Lebih menguasai materi pembelajaran trigonometri untuk siswa SMK

2.    Lebih memiliki kemampuan mengembangkan teknik, model dan strategi pembelajaran trigonometri

C. Ruang Lingkup

Bahan ajar ini membahas topik-topik sebagai berikut:

1.        Pengertian perbandingan trigonometri

2.        Rumus perbandingan trigonometri sudut yang berelasi

3.        Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

4.        Rumus-rumus trigonometri


Bab II

Trigonometri

Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar).

Di Arab dan kebanyakan daerah muslim, trigonometri berkembang dengan pesat tidak saja karena alasan astronomi tetapi juga untuk kebutuhan ibadah. Seperti diketahui, orang muslim jika melakukan ibadah sholat, harus menghadap ke arah Qiblat, suatu bangunan di kota Mekkah. Para matematikawan muslim lalu membuat tabel trigonometri untuk kebutuhan tersebut.

Konsep trigonometri pada pembahasan ini diawali dengan perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku.

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut a:

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut a

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut a

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri  terhadap sudut a sebagai berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

dan

dan

Contoh:

Pada gambar di samping segitiga siku-siku ABC dengan panjang a = 24 dan c = 25.

Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk a.

Penyelesaian:

Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0°, 30°, 45°,60°, dan 90°.

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30°, 45°,dan 60°.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Dari gambar 2.4.a dapat ditentukan

Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

a 30° 45° 60° 90°
sin a 0 1
cos a 1 0
tan a 0 1 tak terdefinisi
cot a tak terdefinisi 1 0

contoh:

1.

2.

C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga ÐXOP dapat bernilai             0° sampai dengan 90°. Perlu diketahui bahwa

dan r > 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

  1. 4.
  2. 5.
  3. 6.

Dengan memutar garis OP maka Ð XOP = a dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Tabel tanda nilai keenam perbandingan  trigonometri di tiap kuadran:

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
csc + + - -
sec + - - +
cot + - + -

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut a adalah sudut (90° ± a), (180° ± a), (360° ± a), dan -a°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut a° dengan (90° – a) dan pelurus (suplemen) untuk sudut a° dengan (180° – a). Contoh: penyiku sudut  50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°.

  1. Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan (90° – a)

Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh:

a.  ÐXOP = a dan ÐXOP1 = 90° – a

b.  x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a.

b.

c.

a.                   d.

b.                   e.

c.                    f.

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut a dengan (90° – a) dapat dituliskan sebagai berikut:

  1. Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° – a)

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga

a. ÐXOP = a dan ÐXOP1 = 180° – a

b.  x1 = -x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.

b.

c.

a.                   d.

b.              e.

c.                 f.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

  1. Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° + a)

Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = -x, sehingga

a. ÐXOP = a dan ÐXOP1 = 180° + a

b.  x1 = -x, y1 = -y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.

b.

c.

a.          d.

b.        e.

c.             f.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

  1. Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan (- a)

Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a.  ÐXOP = a dan ÐXOP1 = – a

b.  x1 = x, y1 = -y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a.

b.

c.

a.                         d.

b.                         e.

c.                         f.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi a  dengan (- a) tersebut identik dengan relasi a dengan 360° – a, misalnya sin (360° – a) = – sin a.

E. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub dengan P(r, a) seperti pada gambar 2.12.

Jika koordinat kutub titik P(r, a) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan:

®

®

jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik        P(r, a) dapat dicari dengan hubungan:

® a = arc tan  , arc tan adalah invers dari tan

Contoh:

1.        Ubahlah menjadi koordinat kutub

a. B(5,5)                               b.

2.        Ubahlah P (12,60°) menjadi koordinat kartesius

Penyelesaian:

1.        a.  B (5,5)                                         b.

x = 5, y = 5 (kuadran I)     x = -4, y =  (kuadran II)

® a = 45°              ® a = 120°

jadi B jadi  C (8, 120°)

2.        P (12,60°)    diubah ke koordinat kartesius

x = r cos a                              y = r sin a

= 12 cos 60°                          = 12 sin 60°

= 12(1/2)                                = 12

x = 6                                        y =

Jadi koordinat kartesiusnya P

F. Identitas Trigonometri

Dari gambar di samping diperoleh  ,  dan . Sehingga

sin2a +cos2a = 1
Jadi

G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan trigonometri suatu sudut, di mana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian.

Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar.

  1. Menyelesaikan persamaan sin x = sin a

Dengan mengingat rumus

sin (180° – a) = sin a dan sin (a + k. 360°) = sin a, maka diperoleh:

Jika sin x = sin a  maka

x = a + k. 360° atau x = (180° – a) + k. 360° , k Î B

  1. Menyelesaikan persamaan cos x = cos a

Dengan mengingat rumus

Jika cos x = cos a  maka

x = a + k. 360° atau x = – a + k. 360°, k Î B

dan cos (a + k. 360°) = cos a, diperoleh

  1. Menyelesaikan persamaan tan x = tan a

Dengan mengingat rumus

Jika tan x = tan a  maka

x = a + k. 180° ,  k Î B

tan (180° + a) = tan a dan tan (a + k. 360°) = tan a, maka diperoleh:

contoh:

Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0° £ x £ 360°.

a)                                            c)

b)

Penyelesaian:

a)         ® sin x = sin 30°

x = a + k. 360°   untuk  k = 0 ® x = 30°

x = (180° – a) + k.360° untuk  k = 0 ® x = 180° – 30° = 150°

b)         ® cos x = cos 30°

x = a + k. 360°   untuk   k = 0 ® x = 30°

x = – a + k. 360° untuk  k = 1 ® x = – 30° + 360° = 330°

c)          ® tan x = tan 120°

x = a + k. 180° untuk  k = 0 ® x = 120°

untuk k = 1 ® x = 120° + 180° = 300°

Catatan: satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

Ð AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360° =  rad

= 2p rad

180° = p rad

pendekatan 1 rad = 57,3°.

Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula  menggunakan satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x = sin A  maka penyelesaiannya adalah:

x = A + k. 2p  atau x = (p- A) + k. 2p , k Î B

di mana x dan A masing-masing satuannya radian.

H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1.        Rumus cos (a + b) dan cos (a – b)

Gb. 2.14

Pada gambar di samping diketahui garis  CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus     cos (a + b).

®

Pada segitiga siku-siku CGF

®         …………..(1)

Pada segitiga siku-siku AFC,

®         …………..(2)

®       …………..(3)

Pada segitiga siku-siku AEF,

®     …………..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

GF = AC sin a sin b

Karena DE = GF  maka DE = AC sin a sin b

Dari (3) dan (4) diperoleh

AE = AC cos a cos b

Sehingga    AD = AE – DE

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

AC cos (a + b) = AC cos a cos b – AC sin a sin b

Jadi

Untuk menentukan  cos (a – b) gantilah b dengan -b lalu disubstitusikan ke rumus cos (a + b).

cos (a – b) = cos (a + (-b))

= cos a cos (-b) – sin a sin (-b)

= cos a cos b – sin a (-sin b)

= cos a cos b + sin a sin b

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

Jadi

2.        Rumus  sin (a + b) dan sin (a – b)

Untuk menentukan rumus sin (a + b) dan sin (a – b) perlu diingat rumus sebelumnya, yaitu:           sin (90° – a) = cos a  dan

cos (90° – a) = sin a

sin (a + b) = cos (90° – (a + b))

= cos ((90° – a) – b)

= cos (90° – a) cos b + sin (90° – a) sin b

sin (a + b)  = sin a cos b + cos a sin b

= sin a cos b + cos a sin b

Jadi

Untuk menentukan  sin (a – b), seperti rumus kosinus selisih dua sudut  gantilah b dengan -b lalu disubstitusikan ke sin (a + b).

sin (a – b) = sin (a + (- b))

= sin a cos (-b) + cos a sin (-b)

= sin a cos b + cos a (-sin b)

sin (a – b)  = sin a cos b – cos a sin b

= sin a cos b – cos a sin b

Jadi

3.        Rumus tan (a + b) dan tan (a – b)

Dengan mengingat , maka

Jadi

Untuk menentukan tan (a – b), gantilah b dengan -b lalu disubstitusikan ke tan (a + b).

tan (a – b) = tan (a + (- b))

Jadi

I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumus-rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

1.

sin 2a = 2 sina cosa

sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sina cosa

Jadi

2.        cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2a – sin2a

cos 2a = cos2a – sin2a

Jadi

Rumus-rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2a dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar  cos2a + sin2a = 1.

cos 2a = cos2a – sin2a                           cos 2a = cos2a – sin2a

= cos2a – (1 – cos2a)                               = (1 – sin2a) – sin2a

1)        cos 2a = cos2a – sin2a

2)        cos 2a = 2cos2a – 1

3)        cos 2a = 1 – 2 sin2a

= 2cos2a – 1                                               = 1 – 2 sin2a

Sehingga

3.

Jadi

J. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan

1.        Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a cos b

cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a cos b

Jadi

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

cos (a + b) – cos (a – b) = -2 sin a sin b

cos (a + b) – cos (a – b) = -2 sin a sin b

Jadi

2.        Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:

sin (a + b)  = sin a cos b + cos a sin b

sin (a – b)  = sin a cos b – cos a sin b

sin (a + b) + sin (a – b) = 2 sin a cos b

sin (a + b) + sin (a – b) = 2 sin a cos b

Jadi

sin (a + b)  = sin a cos b + cos a sin b

sin (a – b)  = sin a cos b – cos a sin b

sin (a + b) + sin (a – b) = 2 sin a cos b

sin (a + b) – sin (a – b) = 2 cos a sin b

Jadi

K. Penerapan Rumus dan Persamaan Trigonometri

Contoh soal aplikasi dalam keteknikan:

1.      Dua buah tegangan pada arus bolak-balik mempunyai harga:

V1 = 200 sin 120° dan V2 = 200 sin 210°

Berapa Vtotal dari V1 dan V2 ?

Penyelesaian:

Vtotal = V1 + V2

= 200 sin 120° + 200 sin 210°

= 200. + 200.

= 100 –100

2.      Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan a = 37° (sudut antara tangga dengan lantai). Gaya beratnya diuraikan dalam gaya w sin a dan w cos a.

Tentukan besar sudut   b dan g!

Penyelesaian:

Gambar 15.a dapat direpresentasikan dalam segitiga seperti pada gambar 15.b. Dengan mengingat kembali sifat-sifat dari 2 segitiga yang sebangun (segitiga ADC dan segitiga CDB) akan diperoleh sudut b = sudut a = 37°.

Sehingga g = 90° – b

= 90° – 37°

= 53°

L. Soal Latihan

1.      Carilah nilai dari

a. sin 120°                 c. tan 150°                 e. cot 330°

b. cos 300°                d. sec 210°                f.  csc 120°

2.      Nilai dari sin 45° cos 135° + tan 210° sec 60° = …..

3.      Jika cos a = dan 0°< a < 90° maka nilai tan a adalah ……

4.      Koordinat kutub dari titik (-10,10) adalah…..

5.      Koordinat kartesius dari titik (9, 120°) adalah …….

6.      Hitunglah panjang AB gambar 2.15 disamping

7.      Jika nilai tan a =  maka nilai dari

cos2a – sin2a = ………..

8.      Himpunan penyelesaian dari sin x =  untuk 0° £ x £ 360° adalah …..

9.      Himpunan penyelesaian dari sin 2x = sin 30°  untuk 0° £ x £ 360° adalah ……..

10. Tulislah rumus cos (2x + 3y)!

11. Jika a dan b sudut-sudut lancip dengan sin a =  dan sin b = , hitunglah sin (a + b)

12. Sederhanakan bentuk

cos 100° cos 10° + sin100° sin 10°

13. Persamaan sin x = cos x dipenuhi untuk x = ……

14. Buktikan 1 + tan2a = sec 2a

15. Sederhanakan

    1. (1 – cos a) (1 + cos a)
    2. tan2a – sec2a

16.  Hitunglah kuat arus dengan persamaan I = 20 sin wt , jika diketahui   w = rad/detik dan t = 2 detik.

17. Sebuah balok terletak pada tangga dengan kemiringan a = 30°. Gaya beratnya diuraikan dalam gaya w sin a dan w cos a.

Tentukan besar gaya F1 dan F2 jika diketahui massa balok  (m) = 14 kg dan gaya grafitasi (g) = 10 m/s2

Bab III

Penutup

A. Rangkuman

1.        Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

a 30° 45° 60° 90°
sin a 0 1
cos a 1 0
tan a 0 1 tak terdefinisi
cot a tak terdefinisi 1 0

2.        Tabel tanda nilai keenam perbandingan  trigonometri tiap kuadran

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
csc + + - -
sec + - - +
cot + - + -

3.        Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

a.

1)                     4)

2)                     5)

3)                     6)

perbandingan trigonometri sudut a dengan (90° – a)

b.        Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° – a)

c.

1)          4)

2)        5)

3)            6)

Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° + a)

d.

1)                          4)

2)                           5)

3)                          6)

Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan (- a)

4.        Menyelesaikan persamaan trigonometri

a.        Jika sin x = sin a  maka

x = a + k. 360° atau x = (180° – a) + k. 360° , k Î B

b.        Jika cos x = cos a  maka

x = a + k. 360° atau x = – a + k. 360°, k Î B

c.        Jika tan x = tan a  maka  x = a + k. 180° k Î B

5.        Rumus-rumus trigonometri

a.        Jumlah dan selisih dua sudut

1)       cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

2)       cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

3)       sin (a + b)  = sin a cos b + cos a sin b

4)       sin (a – b)  = sin a cos b – cos a sin b

5)

6)

b.

3)

Rumus trigonometri untuk sudut rangkap

1)       sin 2a = 2 sin a cos a

2)        cos 2a = cos2a – sin2 a

cos 2a = 2cos2a – 1

cos 2a = 1 – 2 sin2 a

c.        Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan

1)       cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a cos b

2)       cos (a + b) – cos (a – b) = -2 sin a sin b

3)       sin (a + b) + sin (a – b) = 2 sin a cos b

4)       sin (a + b) – sin (a – b) = 2 cos a sin b

B. Saran

Pemahaman terhadap rumus-rumus dasar trigonometri harus betul-betul menjadi penekanan dalam proses pembelajaran sehingga siswa mampu mengaitkan dan menggunakan rumus-rumus yang sesuai untuk menyelesaikan persoalan trigonometri.

Semoga bahan ajar ini menjadi salah satu sumber bacaan bagi para guru dalam pembelajaran matematika di SMK. Penulis menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga kritik dan saran sangat diharapkan.

Daftar Pustaka

Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.

Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company.

Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Kunci Jawaban

1.      a.                 d.               14. 1+ =

b.                       e.                                                  =

c.              f.                                                             =

2.       –                                                                                     =

3.                                                               15. a. 1 – cos2 a = sin2 a

4.                                                      b. dari no 14.a. maka

5.                                                         (sec2x – 1) – sec2x = – 1

6.      BC = 24                                               16. I = 10 ampere

7.                                                       17. F1 = 70Newton

8.      {60°, 120°}                                                F2 = 70 Newton

9.      {15°, 75°, 195°, 255°}

10.  cos 2x cos 3y – sin 2x sin 3y

11.

12.  0

13.  45° dan 225°

September 24, 2010

Leave a Reply: